Lógica y teoría de conjuntos (pdf_ 2.5 Mb)
(Corregidas erratas el 4-10-04)
Apuntes de dos cursos que he impartido en el Departamento de Análisis Matemático. Pretende aportar la base necesaria para seguir adecuadamente un próximo curso de pruebas de consistencia en teoría de conjuntos. Más concretamente, se divide en tres partes:

Primera parte: Lógica de primer orden
Teorías axiomáticas, introducción a la teoría de modelos, el teorema de completitud de Gödel, introducción a la teoría de la recursión, los teoremas de incompletitud de Gödel.

Segunda parte: La lógica de la teoría de conjuntos
Las axiomáticas de Zermelo-Fraenkel y von Neumann-Bernays-Gödel, modelos de la teoría de conjuntos, la formalización de la lógica en la teoría de conjuntos.

Tercera parte: Teoría de conjuntos
Ordinales, inducción y recursión sobre relaciones bien fundadas, cardinales.

En la primera parte se incide en los problemas de fundamentación de la matemática, defendiendo en todo momento una postura finitista al estilo de Hilbert pero ampliada para reconocer la legitimidad de los razonamientos metamatemáticos en torno a colecciones numerables. En la segunda parte se incide en la particularización de los resultados obtenidos en la primera parte al caso concreto de la teoría de conjuntos. Doy una prueba específica del segundo teorema de incompletitud. La tercera parte está encaminada a estudiar la exponenciación cardinal. Se estudian las consecuencias de la hipótesis de los cardinales singulares, y en particular de la hipótesis del continuo generalizada.

Autor: Carlos Ivorra Castillo
Profesor Titular del Departamento de Matemática Económico-Empresarial de la Facultad de Economía de la Universidad de Valencia.

Pruebas de Consistencia (pdf_ 3.3 Mb)
Consta de dos partes, la primera de las cuales se corresponde con un curso que he impartido en el Departamento de Análisis Matemático.

Primera parte: Teoría básica y aplicaciones
Modelos de la teoría de conjuntos, constructibilidad, extensiones genéricas, álgebras de Boole. Aplicaciones.

Segunda parte: Cardinales grandes
Cardinales medibles, débilmente compactos, de Ramsey, compactos, supercompactos y enormes. Aplicaciones.

En la primera parte se introducen las técnicas básicas de pruebas de consistencia. Como aplicaciones se demuestra (entre otros muchos ejemplos) el teorema de Easton sobre las posibilidades de la función del continuo sobre cardinales regulares, la independencia del axioma de elección, la consistencia del axioma de Martin, la independencia del problema de Suslin, del problema de la aditividad de la medida de Lebesgue y de la existencia de extensiones de la medida de Lebesgue a todos los subconjuntos de números reales.

En la segunda parte se estudian los cardinales grandes más importantes y su aplicación a las pruebas de consistencia. Entre otros resultados, se prueba la consistencia de la negación de la hipótesis de los cardinales singulares (relativa a la existencia de un cardinal supercompacto).

Autor: Carlos Ivorra Castillo
Profesor Titular del Departamento de Matemática Económico-Empresarial de la Facultad de Economía de la Universidad de Valencia.

Apuntes de Cálculo I
Índice y Bibliografía (pdf_ 48 Kb)
Capítulo 1 (pdf_ 132 Kb)
Capítulo 2 (pdf_ 260 Kb)
Capítulo 3 (pdf_ 260 Kb)
Capítulo 4 (pdf_ 336 Kb)
Capítulo 5 (pdf_ 332 Kb)
Capítulo 6 (pdf_ 144 Kb)
Problemas Adicionales (pdf_ 156 Kb)

Además existe las siguiente colección de problemas comunes para 4 de los 6 grupos de Cálculo I de la Licenciatura en Físicas de la UCM (en su mayor parte proviene de versiones antiguas de mis apuntes):
Problemas Comunes (A,B,C,D) (pdf_ 132 Kb)
Solución de estos problemas (pdf_ 224 Kb)

La primera versión digital completa de mis apuntes de Cálculo data de 1995 (todavía con los dibujos hechos a mano; los cursos anteriores distribuía unos manuscritos cuyos capítulos iba sustituyendo por los hechos a ordenador). La antepenúltima, de 2001, constaba de 84 páginas. Para comienzos del curso 2003-04 elaboré una nueva versión (bastante modificada) en LaTeX con 112 páginas (9 de ‘problemas adicionales’ y unos 170 dibujos). Los pdf de arribaes la versión (con los temas reordenados) de los apuntes de este curso 04-05.

Autor: Pepe Aranda Iriarte
Profesor Titular del Departamento de Fisica Teórica II (Métodos Matemáticos de la Física) de la Universidad Complutense de Madrid.

Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I
Portada, Índice y Bibliografía (pdf_ 12 Kb)
Capítulo 1 (pdf_ 193 Kb)
Capítulo 2 (pdf_ 183 Kb)
Capítulo 3 (pdf_ 114 Kb)
Capítulo 4 (pdf_ 141 Kb)
Problemas (pdf_ 52 Kb)

La primera versión de estos apuntes es la de 1999, adaptación los apuntes de EDOs del plan antiguo, en los que se pueden ver algunos pocos temas algo más avanzados (la asignatura actual es de 2º curso en lugar de 3º, y tiene 6 créditos en lugar de 7.5). La última versión, con bastantes diferencias acumuladas en teoría, ejemplos y problemas, es la del curso pasado 03-04 (este curso no los he tocado). Actualmente constan de 70 páginas (8 de ellas de problemas) y contienen unos 60 dibujos.

Los problemas que más suelo hacer en las clases son los que provienen de las que eran, hasta el curso pasado 03-04, las hojas de problemas comunes a todos los grupos (parte de los problemas provienen de versiones viejas de mis apuntes y recogen también casi todos los exámenes propuestos en los últimos años; en ellas han intervenido además, por tanto, todos los profesores que se han ido sucediendo en la asignatura: L. Abellanas, F. Guil, M.A. Rodríguez, A. González y E. Olmedilla):

Hojas de problemas 04-05 (pdf_ 88 Kb)

Soluciones resumidas de estas hojas (pdf_ 160 Kb)

Autor: Pepe Aranda Iriarte
Profesor Titular del Departamento de Fisica Teórica II (Métodos Matemáticos de la Física) de la Universidad Complutense de Madrid.

Análisis no estándar (pdf_ 854 Kb)
Apuntes de un curso de Análisis no estándar que he impartido también en el Departamento de Análisis Matemático. Sigo la axiomática de Nelson y presento la axiomática de Hrbacek en un apéndice. Demuestro para ambas el teorema de conservación, según el cual todo teorema interno demostrable a partir de los axiomas no estándar es también un teorema de ZFC. Se muestra el enfoque no estándar del análisis real de una y varias variables y de la topología general.

Autor: Carlos Ivorra Castillo
Profesor Titular del Departamento de Matemática Económico-Empresarial de la Facultad de Economía de la Universidad de Valencia.

Algebra (pdf_ 2 Mb)
Apuntes que he usado en un curso de introducción a la teoría algebraica de números impartido en el Departamento de Análisis Matemático. En realidad no son apuntes confeccionados para el curso, sino unos apuntes de álgebra autocontenidos que ya tenía escritos. Constan de 17 capítulos y dos apéndices. En el capítulo XII se demuestra que los anillos de enteros algebraicos de los cuerpos numéricos son dominios de Dedekind. Los capítulos previos contienen todo lo necesario para llegar a definir estas nociones, probar el resultado y comprender su importancia (anillos, módulos y espacios vectoriales, extensiones de cuerpos, grupos, matrices y determinantes, etc.) Los dos capítulos siguientes estudian más a fondo el caso de los cuerpos cuadráticos, los capítulos XV y XVI (Teoría de Galois y Módulos finitamente generados) presentan algunos resultados adicionales de cara a un futuro curso de Teoría de Números más avanzado que pienso impartir el año que viene. Finalmente, el capítulo XVII trata sobre resolución de ecuaciones por radicales.

Autor: Carlos Ivorra Castillo
Profesor Titular del Departamento de Matemática Económico-Empresarial de la Facultad de Economía de la Universidad de Valencia.

Ciencia, Literatura, Arte y ... Filosofía (pdf_ 367 Kb)
Al hablarse de cultura suele pensarse sólo en sus vertientes literarias y artísticas sin incluir en el concepto lo referente a la ciencia y a la filisofía, Abogar por la unicidad de la cultura sin artificiales líneas divisorias que separen lo artístico- literario de lo científico y filosófico en el contexto del saber humano, es uno de los empeños que han motivado la elaboración de esta selección de artículos que han sido publicados en medios de distintas partes de mundo Los artículos seleccionados se proponen de forma asequible al lector interesado, pero no necesariamente especializado, temas relacionados entre si de manera tal que en cada uno de ellos de alguna forma esté presente lo científico, lo artísticoliterario literario y lo filosófico. Temas de la ciencia de nuestro tiempo que por artículos noticiosos en los medios, han suscitado el interés general, tales como el Big Bang, las Teorías de la Relatividad, el Caos, los Fractales, la Genética, la Evolución, el Efecto Invernadero, el Cambio Climático, la velocidad de la luz y otros, se entrelazan armoniasamente con la Poesía y los poetas, el Arte y los artistas, la Filosofía y los filósofos. De quienes han forjado la ciencia, la literatura, el arte y la filosofía que en este libro tratamos, también hablamos, Einstein, Hawking, Da Vinci, Borges, Lezama, Russell, Poincaré , de su aporte, su pensamiento y sus valores humanos. Algunos de los artículos proponen al final una relación bibliográfica la cual servirá a aquellos que se interesen en ampliar el contenido tratado. Esperamos brindar una lectura amena que a la vez instruya y mueva a la reflexión

Autor: Joaquín González Álvarez
Profesor Universitario de Física (Jubilado) y Optometrista, Graduado por la Universidad de la Habana. Miembro de Mérito de la Sociedad Cubana de Física, con residencia en Estados Unidos. Autor de varios libros de texto y divulgación relacionados con sus epecialidades

Temas escogidos sobre Física y el concepto de realidad (pdf_ 383 Kb)
El concepto de realidad constituye uno de los temas mas tratados en diversos entornos científicos, filosóficos y teológicos, por lo cual resulta siempre de interés para un amplio sector del público llano. En este opúsculo mostramos una compilación de artículos del autor sobre diversos temas de ciencia, filosofía y literatura relacionados con el concepto de realidad en forma accesible tanto al entendimiento común como al especializado, en forma que hemos pretendido sea a la vez un aporte al enriquecimiento de la mente y del espíritu. Se han escogido temas que sean de actualidad y de referencia común en los medios de divulgación, a la vez que se reflexiona sobre asuntos de permanente interés a lo largo de la historia de la humanidad. Gran parte de los artículos han sido publicados en distintos medios de varias partes del mundo, Los aquí mostrados constituyen una selección de entre los mas comentados. Para el lector interesado en ampliar sus conocimientos, hemos añadido una bibliorafía en los artículos que lo requieran.

Autor: Joaquín González Álvarez
Profesor Universitario de Física (Jubilado) y Optometrista, Graduado por la Universidad de la Habana. Miembro de Mérito de la Sociedad Cubana de Física, con residencia en Estados Unidos. Autor de varios libros de texto y divulgación relacionados con sus epecialidades

TEXTO HISTÓRICO: La Física, Aventura del Pensamiento (pdf_ 2.723 Kb)
Este texto divulgativo de Física, fué publicado en el año 1938, por A. Einstein y L. Infeld con el título de "La evolución de la Física" ("The Evolution of Physics") . La obra fué traducida por la Editorial Losada, de Buenos Aires, Argentina, y publicada con el título "La Física, Aventura del Pensamiento", en 1939, repitiendo ediciones en años sucesivos.
El texto que mostramos aquí, y que puede obtenerse también gratuitamente en diferentes puntos de la red, es la quinta edición de la Editorial Losada, del año 1958.

Autores: Albert Einstein (1879-1955) y Leopold Infeld (1898-1968)

Caos, Fractales, Cuerdas y el razonamiento científico (pdf_ 248 Kb)
Tomando como hilo conductor, temas paragdigmáticos de la ciencia del momento, en la selección de artículos que presentamos, intentamos destacar algo que subyace en la esencia del método científico, y es el significado, tratamiento e importancia del concepto de hipótesis y la necesidad de tener siempre presente el carácter hipotético de toda teoría científica y que sin embergo con teorías que cumplan los parámetros de cientificiad y aceptación, la ciencia ha avanzado y avanza impetuosamente. Los artículos se presentan con el mismo formato con el cual aparecieron en los distintos medios de donde los hemos seleccionado, incluyendo en gran parte de los mismos la correspondiente bibliogafía que pensamos sea de utilidad para ampliar conocimientos.

Autor: Joaquín González Álvarez
Profesor Universitario de Física (Jubilado) y Optometrista, Graduado por la Universidad de la Habana. Miembro de Mérito de la Sociedad Cubana de Física, con residencia en Estados Unidos. Autor de varios libros de texto y divulgación relacionados con sus epecialidades

Funciones de Variable Compleja (pdf_ 2.48 Mb)
Una introducción a la teoría de funciones holomorfas con aplicaciones a la teoría de números. Además de los resultados usuales (funciones holomorfas y meromorfas, series y productos infinitos, el teorema de los residuos, etc.) se demuestra el teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas, el teorema de los números primos, la ley de reciprocidad cuadrática, etc. Los últimos capítulos tratan sobre funciones multiformes y superficies de Riemann.

Autor: Carlos Ivorra Castillo
Profesor Titular del Departamento de Matemática Económico-Empresarial de la Facultad de Economía de la Universidad de Valencia.

Teoría de Números (pdf_ 2.1 Mb)
Una introducción a la teoría algebraica de números. Se centra en la aritmética de los cuerpos numéricos y sus compleciones (cuerpos de números p-ádicos), con aplicaciones a las ecuaciones diofánticas. Especialmente expongo la teoría de Gauss sobre formas cuadráticas binarias y los resultados principales de Kummer sobre el último teorema de Fermat. El último capítulo contiene dos pruebas de trascendencia: el teorema de Lindemann-Weierstrass y el teorema de Gelfond-Schneider.

Autor: Carlos Ivorra Castillo
Profesor Titular del Departamento de Matemática Económico-Empresarial de la Facultad de Economía de la Universidad de Valencia.

Teoría de Cuerpos de Clases (pdf_ 2.78 Mb)
Este libro es una continuación natural del anterior, donde expongo la teoría global de cuerpos de clases para cuerpos numéricos y la teoría local para sus compleciones. (No entro en la teoría análoga para cuerpos de funciones algebraicas de una variable sobre cuerpos finitos.) La exposición sigue un enfoque clásico, pero en los últimos temas doy también una exposición alternativa en términos de cohomología de grupos.

Autor: Carlos Ivorra Castillo
Profesor Titular del Departamento de Matemática Económico-Empresarial de la Facultad de Economía de la Universidad de Valencia.

Topología Algebráica (pdf_ 2.97 Mb)
Consta de dos partes, la primera de topología propiamente dicha y la segunda de geometría diferencial.
Primera parte: Topología
Homología singular y aplicaciones: el teorema de Brouwer, el teorema de Jordan-Brouwer, la clasificación de las superficies compactas, homología de las variedades topológicas. El último capítulo contiene algo (muy poco) sobre homotopía. Un apéndice contiene la clasificación de las superficies compactas, incluyendo la prueba de que son triangulables.
Segunda parte: Geometría Diferencial
Los dos primeros capítulos contienen los hechos básicos sobre geometría diferencial, esencialmente lo necesario para definir las geodésicas y demostrar la existencia de entornos geodésicamente convexos. Luego estudio la cohomología de De Rham, y los últimos capítulos tratan sobre la cohomología de los fibrados y el teorema de punto fijo de Lefchetz.

Autor: Carlos Ivorra Castillo
Profesor Titular del Departamento de Matemática Económico-Empresarial de la Facultad de Economía de la Universidad de Valencia.

Nueva representación de la termodinámica. La entropía como calor (pdf_ 1.56 Mb)
La obra surge a partir de un curso dictado por el autor durante el semestre de verano en 1970 en Hamburgo El estudio del calor o termodinámica, es en general de difícil entendimiento. La construcción parece arbitraria y no se encuentran suficientes analogías, por lo tanto sus relaciones con otras ramas de la física no pueden ser claramente establecidas. Uno se ve confrontado con una variedad de conceptos abstractos como entropía, entalpía, función de estado, energía libre, reversibilidad, fugacidad, etc. El concepto “calor” ya muestra un contraste entre teoría e intuición. Él caracteriza en física una forma de transferencia y no una forma de ser de la energía. La magnitud de calor Q no es una función de estado, y su diferencial dQ es incompleto. La discrepancia entre teoría e intuición se manifiesta de manera significativa cuando se observa que incluso las personas con una formación científica en ciencias naturales no ven de manera clara estas relaciones. Por lo visto, manejamos nuestro medio con un concepto de calor, diferente al que tiene la física. Entonces, parece natural ensayar a construir una teoría basada en las representaciones intuitivas de calor. ¡Esto se logra en efecto!, y a pesar de un punto de partida diferente se llega de nuevo a la termodinámica conocida. Así su construcción reposa sobre otros fundamentos, se ordena conceptualmente de otra manera y esta libre de magnitudes introducidas solamente a partir de razones formales. Otra ventaja de esta nueva concepción es que la formulación matemática es más sucinta. Ella choca contra maneras de pensar de cien años.

Autor: George Job
Dr. en Física y codirector del Grupo de Didáctica de la Física de la Universidad de Karlsruhe, Alemania, ha venido trabajando en modelos alternativos para la enseñanza de las ciencias y de la Física en particular, obteniendo algunos resultados de amplio reconocimiento en este campo.

Curso de Física de Karlsruhe (pdf_ 3.1 Mb)
Curso de Física de Karlsruhe_guia profesor (pdf_ 46 kb)
Versión parcial en castellano de este conocido curso de Fisica.

Puede accederse aqui a la versión completa en ingés:

Primer volumen
Segundo volumen
Tercer volumen

Autores: George Job y Friedrich Herrmann
Profesores del Departamento de Didáctica de la Física en la Universidad de Karlsruhe, Alemania.