Más artículos de Matemática

Una Cierta Integral Indefinida



por Pascual PEIRÓ CODINA

(Pascual PEIRÓ CODINA es Profesor de Matemáticas de Enseñanza Secundaria)


Para resolver integrales indefinidas no inmediatas disponemos de métodos muy precisos. Una vez que el/la alumno/a los domina se enfrenta al problema de decidir en cada caso qué método le conduce a la solución. En el ejemplo que analizo ocurre lo que sucede continuamente en Matemáticas, esto es, que podemos elegir varios caminos para llegar a nuestro objetivo. Si, finalmente, conseguimos resolver el problema habremos tenido éxito, pero - normalmente - la mejor solución es la que menos nos haga trabajar, será más corta y, seguramente, más elegante .

El estudio de integrales se inicia en Bachillerato. En este nivel no se puede pretender que los/as alumnos/as sean capaces de resolver una integral de ocho formas distintas como se plantea en este estudio en el que se utilizan muchas identidades trigonométricas y todos los métodos de integración que se les enseñan (cambio de variable, por partes, descomposición de integrales racionales y “trucos” para transformar la integral), pero si es importante que se den cuenta de que en Matemáticas podemos hacer las cosas bien o, pensando un poco, podemos hacerlas mejor .



Integral 1:

En las integrales con funciones trigonométricas de exponente entero, este es un cambio de variable seguro ya que nos conduce a una integral racional (cociente de polinomios) cuya resolución es puramente mecánica. Lo que ocurre es que tanto el cambio como la segunda integral requieren mucho trabajo .

Cambio de variable:











Integral 2:

Con el siguiente cambio de variable, mucho más fácil que el realizado anteriormente, se obtiene una integral racional que se puede descomponer en dos integrales inmediatas:

cos x = t ---> -sen x dx = dt



Multiplicar numerador y denominador por sen x es análogo a lo anterior, pero nos puede ayudar a realizar el cambio de variable.





Integral 3:

Con las identidades del ángulo mitad se puede descomponer en dos integrales inmediatas :







Integral 4:

Utilizando una identidad del ángulo mitad y con una transformación multiplicando y dividiendo se obtiene una integral inmediata:



Dividimos numerador y denominador por cos2(x/2):





Integral 5:

Utilizando una identidad del ángulo mitad y con un cambio de variable se obtiene una integral racional:





Cambio de variable:



Puede ser útil, para darse cuenta del cambio a realizar, multiplicar numerador y denominador por cos(x/2).







Integral 6:

Utilizando la identidad fundamental y un cambio de variable:





Para la segunda integral se realiza el cambio de variable cos x = t --> -sen x dx = dt
(se puede multiplicar y dividir por sen x)





Así:





Integral 7:

Utilizando la integración por partes :





Se obtiene la integral ya resuelta en el anterior estudio.




Integral 8:

Este es, sin duda, el mejor método de realizar la integral. Requiere la habilidad de darse cuenta de que multiplicando y dividiendo por (cosec x + cotg x) se obtiene una integral inmediata:





Equivalencia de las soluciones:

Como en el estudio han aparecido tres soluciones, conviene demostrar su equivalencia.











Pascual PEIRÓ CODINA
ppeirocodina@educaragon.org

26 febrero 2005
contador de visitas
hit counter

Otros trabajos de Pascual PEIRÓ CODINA

 


Más artículos de Matemática