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El Problema del Recorrido del Caballo de Ajedrez

por Pascual PEIRÓ CODINA

La peregrinación del caballo de ajedrez consiste en su paseo por todas las casillas del tablero sin pasar dos veces por la misma, utilizando sus movimientos: dos casillas horizontales y una vertical o a la inversa. Cuando desde la última casilla podamos pasar a la primera se trata de una "peregrinación cerrada".

A lo largo de los siglos, matemáticos de todo el mundo dedicaron un especial interés a este problema. Uno de ellos se destacó por sus ingeniosas e increíbles soluciones, Leonard Euler (Basilea - Suiza, 1707-1783). Una de sus soluciones es un recorrido en el que las filas y columnas suman 260. El desarrollo de los movimientos del caballo por las 64 casillas ya es, en sí, muy difícil de conseguir como para, además, lograr que filas y columnas sumen lo mismo.


Leonard Euler

Podemos imaginarnos cómo Euler, en el siglo XVIII, trabajó para resolver el acertijo, sus herramientas fueron una pluma, papel, mucha paciencia y una grandísima dosis de algo que demostró toda su vida: genialidad. Así, la técnica empleada sería, básicamente, la misma que he utilizado con ayuda de un programa informático diseñado en B.A.S.I.C. para este estudio, realizar movimientos del caballo de una a otra casilla hasta que, en el caso de que no queden casillas vacías, es necesario volver atrás, borrar el movimiento anterior y realizar un salto de caballo distinto. El proceso se repite hasta que se complete el recorrido.

A Euler le hubiera encantado disponer de la capacidad de cálculo de un ordenador. Al programa en B.A.S.I.C., en cambio, me encantaría añadirle la genialidad que demostró este gran matemático. A diferencia de los programas para jugar a ajedrez, este no da prioridad a los movimientos, el caballo puede mover, como máximo, a ocho casillas y, como mínimo, a dos realizándose los ocho posibles movimientos por orden. Así, intenta el primer movimiento, y si este no es posible porque la casilla está ocupada, intenta el segundo y así, sucesivamente, hasta que completa todas las posibilidades.

Teniendo en cuenta que disponemos de 64 casillas y en cada movimiento de dos a ocho posibles casillas para mover el caballo, podemos hacernos una idea del gran número de posibilidades. Sin entrar en cálculos con grandes números, traducido a tiempo real, el algoritmo podría resultar “infinito”. Por supuesto, se puede encontrar una solución en unos minutos o segundos si el ordenador realiza los movimientos adecuados. Esto me indujo a pensar en realizar recorridos con menos casillas que se pueden completar en pocos segundos, por ejemplo en un tablero de 4x4, de 5x5, de 3x8, etc,.

Para recorrer el tablero de ajedrez de 8x8 se pueden enlazar varios recorridos comenzando uno de ellos en una casilla a la que se accede desde el último movimiento del anterior. Por ejemplo dos recorridos de 3x3 se podrían enlazar como se muestra -desde la casilla de movimiento 8 pasamos al siguiente con el movimiento 9-:

Aunque es posible acceder a la casilla que ha quedado vacía (movimiento 13), resulta más cómodo buscar recorridos completos .

El siguiente paso es pensar de qué forma dividir el tablero en recorridos, por ejemplo:

Como es preferible que sean completos, hemos de analizar todas las posibilidades en cada uno de ellos. A continuación se describen algunos recorridos completos y otros que no es posible realizar (en estos se refleja un ejemplo, pero se han analizado todas las posibilidades):

3x3
3x4
3x5
4x4
No hay solución
No hay solución
No hay solución

4x5
5x8

Una vez que tenemos claro qué recorridos son posibles, es necesario enlazarlos hasta completar el tablero. Como ejemplo, el siguiente se ha realizado con uno de 8x5 y uno de 8x3. Dado que desde la casilla número 64 se puede acceder a la número 1, se trata de un recorrido cerrado que nos permite comenzar en cualquier casilla y siguiendo el orden de los números completar el recorrido del caballo.

Por último, aquí está la increíble solución de EULER, en la que filas y columnas suman 260 (¡cuadrado mágico!).

 

Pascual PEIRÓ CODINA
ppeirocodina@educaragon.org

 



24 abril 2004
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